Scadenza cookie... non si cancella entro il tempo stabilito

if (isset($_POST['invia'])){
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echo "(Tempo impostato 600 - 10 minuti) - Ciao $nome_utente <br>";
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?>

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<input type="text" name="nome_utente">
<input type="submit" name="invia">
</form>

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<?php

$nome_utente = htmlspecialchars($_COOKIE['nome_cookie']);
echo "Ciao $nome_utente - (prende il nome dal cookie) <br>";

?>